Question

已知橢圓C₁的方程為+y²=1，雙曲線C₂的左、右焦點分別為C₁的左、右頂點，而C₂的左、右頂點分別是C₁的左、右焦點．
（Ⅰ）求雙曲線C₂的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+與橢圓C₁及雙曲線C₂都恒有兩個不同的交點，且l與C₂的兩個交點A和B滿足•＜6（其中O為原點），求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設出雙曲線的標準方程，然后結合橢圓的頂點與焦點易得雙曲線的焦點與頂點，即求得雙曲線的c與a，再由a²+b²=c²求得b²，則雙曲線方程解決；
（Ⅱ）把直線方程分別與橢圓方程、雙曲線方程聯立，不妨消y得x的方程，則它們均為一元二次方程且判別式大于零，由此得出k的取值范圍；再結合一元二次方程根與系數的關系用k的代數式表示出x_A+x_B，x_Ax_B，進而把轉化為k的不等式，求出k的又一取值范圍，最后求k的交集即可．
解答：解：（Ⅰ）設雙曲線C₂的方程為-=1，則a²=4-1=3，再由a²+b²=c²得b²=1．
故C₂的方程為-y²=1．
（II）將y=kx+代入+y²=1得（1+4k²）x²+8kx+4=0
由直線l與橢圓C₁恒有兩個不同的交點得△1=-16（1+4k²）=16（4k²-1）＞0，
即k²＞①
將y=kx+代入-y²=1得（1-3k²）x²-6kx-9=0．
由直線l與雙曲線C₂恒有兩個不同的交點A，B得
即k²≠且k²＜1．②
設A（x_A，y_A）B（x_B，y_B），則x_A+x_B=，x_A•x_B=．
由•＜6得x_Ax_B+y_Ay_B＜6，
而x_Ax_B+y_Ay_B=x_Ax_B+（kx_A+）（kx_B+）
=（k²+1）x_Ax_B+（x_A+x_B）+2
=（k²+1）•+k•+2
=．
于是＜6，即＞0．
解此不等式得k²＞或k²＜．③
由①、②、③得＜k²＜或＜k²＜1．
故k的取值范圍為（-1，-）∪（-，-）∪（，）∪（，1）．
點評：本題考查雙曲線的標準方程以及直線和圓錐曲線的位置關系，綜合性強，字母運算能力是一大考驗．