Question

函數f（x）=x³+mx²+nx（m＞0）在x=1處取到極值：f′（x）的最小值為-4．
（1）求m、n的值及f（x）的單調區間；
（2）試分別求方程f（x）-c=0在區間[-4，1]上有一根；有兩根時C的范圍．

Answer 1

解：（1）由題意得f′（x）=x²+2mx+n=（x+m）²+n-m²，
又f（x） 在x=1處取得極值，f′（x）的最小值為-4．
所以 ，解得m=1，n=-3．
所以f′（x）=x²+2x-3，
由f′（x）=x²+2x-3＞0得：x＞1或x＜-3．
∴f（x）的單調遞增區間為（-∞，-3），（1，+∞），
由f′（x）=x²+2x-3＜0得：-3＜x＜1．
∴f（x）的單調遞減區間為（-3，1）；
（2）由題意得f（x）=x³+x²-3x，
f（-4）=，f（-3）=9，f（1）=-，
當方程f（x）-c=0在區間[-4，1]上有一根時，c∈[，）∪{9}，
當方程f（x）-c=0在區間[-4，1]上有兩根時，c∈[，9）．
分析：（1）先由導數知識求出f′（x），然后利用配方法把二次函數f′（x）表示成頂點式，再根據g（x） 在x=1處取得極值，f′（x）的最小值為-4可列方程組求得m、n的值，代入f′（x）中，即可求得f（x）的單調區間；（2）由（1）可知函數f（x）在區間[-4，1]的圖象變化情況，根據函數圖象即可求得結論．
點評：此題是中檔題．考查利用導數研究函數的單調性和極值問題，以及函數圖象的變化情況，體現了數形結合和轉化的思想，考查了學生靈活應用知識分析解決問題的能力．