Question

如圖，在矩形地塊ABCD中有兩條道路AF，EC，其中AF是以A為頂點的拋物線段，EC是線段．AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km．在兩條道路之間計劃修建一個花圃，花圃形狀為直角梯形QPRE（線段EQ和RP為兩個底邊，如圖所示）．求該花圃的最大面積．

Answer 1

分析：設拋物線y²=2px，根據點F（4，2）在拋物線上，可求AF所在拋物線的標準方程；公園形狀為直角梯形QPRE，所以利用面積公式可求，應注意x的取值范圍；先求導函數，令導數為0，得 x=

4

3

，利用函數在（0，2）上是單峰函數，可求函數的最值．

解答：解：設拋物線y²=2px
∵點F（4，2）在拋物線上，∴2²=2p×4，∴2p=1，∴y²=x
設P（x²，x）  則QE=AE-AQ=4-x²
∵∠PRE=∠C=45°∴PR=QE+x=4-x²+x S=

x

2

(4-x2+4-x2+x)=-x3+

1

2

x2+4x（0＜x＜2）
S'（x）=-3x²+x+4令S'（x）=0則x=-1（舍去）或 x=

4

3

當 0＜x＜

4

3

時，S'＞0，∴S（x）遞增；
當

4

3

＜x＜2時，S'＜0，∴S（x）遞減；
∴當 x=

4

3

km時，Smax=

104

27

km²

點評：本題以實際問題為載體，考查函數模型的建立，考查利用導數解決函數的最值問題，屬于中檔題．