Question

已知中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓T經(jīng)過．
（I）求橢圓T的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）橢圓T上是否存在點(diǎn)E（m，n）使得直線l：x=my+n交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且？若存在求出點(diǎn)E坐標(biāo)；若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1，將坐標(biāo)代入方程，即可求得橢圓的方程；
（II）直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及，即可求得結(jié)論．
解答：解：（I）設(shè)橢圓方程為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0）
將坐標(biāo)代入方程，得，∴，
∴橢圓的方程為…（4分）
（II）聯(lián)立方程，消去x可得（m²+3）y²+2mny+n²-3=0，
設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）
∴…（6分）
∴，即y₁y₂+（my₁+n）（my₂+n）=0
所以，
將韋達(dá)代入上式，化簡得：4n²=3（m²+1）①…（8分）
又點(diǎn)E（m，n）在橢圓上，∴，∴②
由①②得，
所以…（12分）
點(diǎn)評：本題考查橢圓軛標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．