Question

已知點及圓：.

（Ⅰ）若直線過點且與圓心的距離為1，求直線的方程；

（Ⅱ）設過點P的直線與圓交于、兩點，當時，求以線段為直徑的圓的方程；

（Ⅲ）設直線與圓交于，兩點，是否存在實數，使得過點的直線垂直平分弦？若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）設直線的斜率為（存在）則方程為.

又圓C的圓心為，半徑，

由  ，  解得.

所以直線方程為，  即 .

當的斜率不存在時，的方程為，經驗證也滿足條件.………………4分

（Ⅱ）由于，而弦心距，

所以.

所以為的中點.

故以為直徑的圓的方程為.……………………………9分

（Ⅲ）把直線即．代入圓的方程，

消去，整理得

．

由于直線交圓于兩點，

故，

即，解得．     則實數的取值范圍是．

設符合條件的實數存在，

由于垂直平分弦，故圓心必在上．

所以的斜率，而，

所以．

由于，

故不存在實數，使得過點的直線垂直平分弦．

【解析】略