Question

【題目】已知函數f（x）對定義域R內的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且當x≠2時其導函數f′（x）滿足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4則（　　）
A.f（2a）＜f（3）＜f（log2a）
B.f（3）＜f（log2a）＜f（2a）
C.f（log2a）＜f（3）＜f（2a）
D.f（log2a）＜f（2a）＜f（3）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵函數f（x）對定義域R內的任意x都有f（x）=f（4﹣x），
∴f（x）關于直線x=2對稱；
又當x≠2時其導函數f′（x）滿足xf′（x）＞2f′（x）f′（x）（x﹣2）＞0，
∴當x＞2時，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的單調遞增；
同理可得，當x＜2時，f（x）在（﹣∞，2）單調遞減；
∵2＜a＜4，
∴1＜log2a＜2，
∴2＜4﹣log2a＜3，又4＜2a＜16，f（log2a）=f（4﹣log2a），f（x）在（2，+∞）上的單調遞增；
∴f（log2a）＜f（3）＜f（2a）．
故選C．
由f（x）=f（4﹣x），可知函數f（x）關于直線x=2對稱，由xf′（x）＞2f′（x），可知f（x）在（﹣∞，2）與（2，+∞）上的單調性，從而可得答案．