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證明：，n≥2,n∈N.

思路分析：本題在由n=k到n=k+1時的推證過程中，在證明時，使用了均值定理進行放縮.

證明：(Ⅰ)當n=2時，左邊=，右邊=.

∴左邊＜右邊，

∴n=2時，原不等式成立.

(Ⅱ)假設當n=k時，不等式成立，即.

當n=k+1時，

∴n=k+1時，原不等式成立.由(Ⅰ)(Ⅱ)知對n≥2的任何自然數，原不等式成立.

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（2012•黃浦區二模）對n∈N^*，定義函數f_n（x）=-（x-n）²+n，n-1≤x≤n．
（1）求證：y=f_n（x）圖象的右端點與y=f_n+1（x）圖象的左端點重合；并回答這些端點在哪條直線上．
（2）若直線y=k_nx與函數f_n（x）=-（x-n）²+n，n-1≤x≤n（n≥2，n∈N^*）的圖象有且僅有一個公共點，試將k_n表示成n的函數．
（3）對n∈N^*，n≥2，在區間[0，n]上定義函數y=f（x），使得當m-1≤x≤m（n∈N^*，且m=1，2，…，n）時，f（x）=f_m（x）．試研究關于x的方程f（x）=f_n（x）（0≤x≤n，n∈N^*）的實數解的個數（這里的k_n是（2）中的k_n），并證明你的結論．

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[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]，由此得1×2=

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科目：高中數學 來源： 題型：

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（1）求f(x)在區間[1-e², 1-e]上的最值；

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在計算“1×2+2×3+…n（n+1）”時，先改寫第k項：
k（k+1）=

[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（k+1）]，由此得1×2=

（1×2×3-0×1×2），2×3=

（2×3×4-1×2×3），．．
n（n+1）=

[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，相加，得1×2+2×3+…+n（n+1）=

n(n+1)(n+2)
（1）類比上述方法，請你計算“1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）”的結果；
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對n∈N^*，定義函數f_n（x）=-（x-n）²+n，n-1≤x≤n．
（1）求證：y=f_n（x）圖象的右端點與y=f_n+1（x）圖象的左端點重合；并回答這些端點在哪條直線上．
（2）若直線y=k_nx與函數f_n（x）=-（x-n）²+n，n-1≤x≤n（n≥2，n∈N^*）的圖象有且僅有一個公共點，試將k_n表示成n的函數．
（3）對n∈N^*，n≥2，在區間[0，n]上定義函數y=f（x），使得當m-1≤x≤m（n∈N^*，且m=1，2，…，n）時，f（x）=f_m（x）．試研究關于x的方程f（x）=f_n（x）（0≤x≤n，n∈N^*）的實數解的個數（這里的k_n是（2）中的k_n），并證明你的結論．

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