【題目】已知函數
（1）討論
的單調性；
（2）若有兩個零點，求
的取值范圍.
【答案】（1）見詳解；（2）
【解析】
（1）求出函數的導數，通過討論
的范圍，求出函數的單調區間即可；
（2）根據（1）的單調性的討論，分析函數極值的正負，以及極限的思想，確定零點的個數.
解：（1）由題
，
（i）當
時，
，
時，
，
單調遞減，
時，
，單調遞增；
（ii）當
時，
時，
，
，函數單調遞增，
時，，
，函數單調遞減，
時，，
，函數單調遞增；
（iii）當
時，
恒成立，
函數單調遞增；
（iv）當
時，
時，，函數單調遞增，
時，，函數單調遞減，
時，，函數單調遞增；
（2）（i）當
時，
有唯一零點
，不符合題意；
由（1）知：
（ii）當時，單調遞增，
時，
；
時，
；
則
僅有唯一零點，不符合題意；
（iii）當時，
時，函數單調遞減，
時，函數單調遞增，
時，；時，，
必有兩個零點；
（iv）當，
時，函數單調遞增，
時，函數單調遞減，
時，函數單調遞增，
，
，
函數至多有一個零點；
（v）同理可知，時，函數至多有一個零點.
綜上所述：當時，函數有兩個零點.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，四邊形
是矩形，點
，點
，點
.以點
為中心，順時針旋轉矩形，得到矩形
，點
的對應點分別為
.
（1）如圖①，當點
落在
邊上時，求點的坐標；
（2）如圖②，當點落在線段
上時，
與交于點
.
①求證
；②求點的坐標.
（3）記
為矩形對角線的交點，
為
的面積，求的取值范圍(直接寫出結果即可).
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司要了解某商品的年廣告費
（單位:萬元）對年銷售額
（單位:萬元）的影響，對近4年的年廣告費
和年銷售額
數據作了初步調研，得到下面的表格:
年廣告費 | 2 | 3 | 4 | 5 |
年銷售額 | 26 | 39 | 49 | 54 |
用廣告費作解釋變量，年銷售額作預報變量，且
適宜作為年銷售額關于年廣告費的回歸方程類型．
（1）根據表中數據，建立關于的回歸方程．
（2）已知商品的年利潤
與，的關系式為
，根據（1）中的結果，估計年廣告費為何值時（小數點后保留兩位），年利潤的預報值最大?
（對于數據
，其回歸方程
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
，
）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
，點
.
（1）求拋物線
的頂點坐標；
（2）若拋物線與
軸的交點為
，連接
，并延長交拋物線于點
，求證：
；
（3）將拋物線作適當的平移，得拋物線
，若
時，
恒成立，求
得最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
的參數方程是
(
為參數)，以原點
為極點， 
軸正半軸為極軸，建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
.
(Ⅰ)求曲線
的普通方程與直線
的直角坐標方程；
(Ⅱ)已知直線
與曲線
交于
， 
兩點，與
軸交于點
，求
.
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