Question

已知集合M={1，2，3，…，n}（n∈N*），若集合，且對(duì)任意的b∈M，存在a_i，a_j∈A（1≤i≤j≤m），使得b=λ₁a_i+λ₂a_j（其中λ₁，λ_2^∈{﹣1，0，1}），則稱集合A為集合M的一個(gè)m元基底．
（Ⅰ）分別判斷下列集合A是否為集合M的一個(gè)二元基底，并說明理由；
①A={1，5}M={1，2，3，4，5}；
②A={2，3}，M={1，2，3，4，5，6}．
（Ⅱ）若集合A是集合M的一個(gè)m元基底，證明：m（m+1）≥n；
（III）若集合A為集合M={1，2，3，…，19}的一個(gè)m元基底，求出m的最小可能值，并寫出當(dāng)m取最小值時(shí)M的一個(gè)基底A．

Answer 1

解：（Ⅰ）①A={1，5}不是M={1，2，3，4，5}的一個(gè)二元基底．
理由是3≠λ₁×1+λ₂×5；
②A={2，3}是M={1，2，3，4，5}的一個(gè)二元基底．
理由是 1=﹣1×2+1×3，2=1×2+0×3，3=0×2+1×3，
4=1×2+1×2，5=1×2+1×3，6=1×3+1×3．          
（Ⅱ）不妨設(shè)a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_m，則形如1×a_i+0×a_j（1≤i≤j≤m）的正整數(shù)共有m個(gè)；
形如1×a_i+1×a_i（1≤i≤m）的正整數(shù)共有m個(gè)；
形如1×a_i+1×a_j（1≤i≤j≤m）的正整數(shù)至多有 個(gè)；
形如﹣1×ai+1×aj（1≤i≤j≤m）的正整數(shù)至多有 個(gè)．
又集合M={1，2，3，…，n}（n∈N*），
含n個(gè)不同的正整數(shù)，A為集合M的一個(gè)m元基底．
故m+m+ + ≥n，即m（m+1）≥n
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知m（m+1）≥19，所以m≥4．
當(dāng)m=4時(shí)，m（m+1）﹣19=1，
即用基底中元素表示出的數(shù)最多重復(fù)一個(gè)…*
假設(shè)A=a₁，a₂，a₃，，a₄為M={1，2，3，…，19}的一個(gè)4元基底，
不妨設(shè)a₁＜a₂＜a₃＜a₄，則a₄≥10．
當(dāng)a₄=10時(shí)，有a₃=9，這時(shí)a₂=8或7．
如果a₂=8，則由1=10﹣9，1=9﹣8，18=9+9，18=10+8，這與結(jié)論*矛盾．
如果a₂=7，則a₁=6或5．
易知A={6，7，9，10}和A={5，7，9，10}都不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．當(dāng)a₄=11時(shí)，有a₃=8，這時(shí)a₂=7，a₁=6，
易知A={6，7，8，11}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
當(dāng)a₄=12時(shí)，有a₃=7，這時(shí)a₂=6，a₁=5，
易知A={5，6，7，12}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
當(dāng)a₄=13時(shí)，有a₃=6，a₂=5，a₁=4，
易知A={4，5，6，13}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
當(dāng)a₄=14時(shí)，有a₃=5，a₂=4，a₁=3，
易知A={3，4，5，14}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
當(dāng)a₄=15時(shí)，有a₃=4，a₂=3，a₁=2，
易知A={2，3，4，15}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
當(dāng)a₄=16時(shí)，有a₃=3，a₂=2，a₁=1，
易知A={1，2，3，16}不是M={1，2，3，…，19}的4元基底，矛盾．
當(dāng)a₄≥17時(shí)，A均不可能是M的4元基底．
當(dāng)m=5時(shí)，M的一個(gè)基底A={1，3，5，9，16}．
綜上所述，m的最小可能值為5．