Question

已知數列{a_n}滿足a₁=2，．
（1）令，求數列{b_n}和{a_n}的通項公式；
（2）設，試推斷是否存在常數A，B，C，使對一切n∈N^*都有a_n=c_n+1-c_n成立？若存在，求出A，B，C的值；若不存在，說明理由；
（3）對（2）中數列{c_n}，設，求{d_n}的最小項的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由條件，可得，從而可得{b_n}是公比為2的等比數列，由此可求數列{b_n}和{a_n}的通項公式；
（2）根據，作差，根據a_n=c_n+1-c_n恒成立，可得An²+（4A+B）n+2A+2B+C=n²恒成立，由此可求A，B，C的值；                          
（3）由，令，利用配方法，即可求得結論．
解答：解：（1）由已知得，∴{b_n}是公比為2的等比數列，
∵b₁=2，∴
由，得
（2）∵，
∴=[An²+（4A+B）n+2A+2B+C]•2ⁿ
若a_n=c_n+1-c_n恒成立，則An²+（4A+B）n+2A+2B+C=n²恒成立，
∴，∴A=1，B=-4，C=6
故存在常數A=1，B=-4，C=6滿足條件                              
（3），令
則=
∵t∈（0，1]，∴t=1時，的最大值為3
∴{d_n}的最小項的值為
點評：本題考查等比數列的證明，考查恒等式，考查求函數的最值，正確利用數列通項是關鍵．