Question

圖（1）是一個邊長為1的正三角形，將其每邊三等分，以中間一段為邊，向形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖（2），如此繼續下去得圖（3），圖（4），…，則圖（n）中對應圖形的周長是

3×(

4

3

)n-1

；

Answer 1

分析：由題意利用等比數列求出第n個圖形的邊長，再由等比數列求出第n個圖形的邊數，則答案可求．

解答：解：設第n個圖形的邊長為a_n，
由題意知，從第2個圖形起，每一個圖形的邊長均為上一個圖形邊長的

1

3

，
所以數列{a_n}是首項為1，公比為

1

3

的等比數列，
故an=(

1

3

)n-1，
要計算第n個圖形的周長，只需計算第n個圖形的邊數，第1個圖形的邊數為3，因為從第2個圖形起，每一個圖形的邊數均為上一個圖形邊數的4倍，所以第n個圖形的邊數為3×4^n-1，
因此，第n個圖形的周長=(

1

3

)n-1×（3×4^n-1）=3×(

4

3

)n-1．
故答案為3×(

4

3

)n-1．

點評：本題考查了歸納推理，考查了等比數列的通項公式，解答的關鍵是對規律的尋找，是中檔題．