Question

（2013•肇慶二模）在△ABC中，內角A，B，C所對邊的邊長分別是a，b，c．
（1）若c=2，C=

π

3

且△ABC的面積等于

3

，求cos（A+B）和a，b的值；
（2）若B是鈍角，且cosA=

3

5

，sinB=

12

13

，求sinC的值．

Answer 1

分析：（1）根據三角形內角和，算出A+B=π-C=

2π

3

，即可得到cos（A+B）=-

1

2

．根據余弦定理，結合題中數據列式，化簡得a²+b²-ab=4，由正弦定理關于三角形面積的公式算出ab=4，兩式聯解即可得到a=b=2；
（2）根據B是鈍角和sinB=

12

13

，利用同角三角函數關系算出cosB=-

5

13

；由cosA=

3

5

算出sinA=

1-cos2A

=

4

5

，從而得sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

16

65

，結合三角形內角和與誘導公式即可算出sinC的值．

解答：解（1）∵A+B+C=π，C=

π

3

，∴A+B=π-C=

2π

3

由此可得：cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC=-cos

π

3

=-

1

2

（2分）
根據余弦定理，得c²=a²+b²-2abcosC，
∴a²+b²-ab=4，（4分）
又∵△ABC的面積等于

3

，即

1

2

absinC=

3

，
∴

1

2

ab×

3

2

=

3

，解之得ab=4．       （5分）
聯立方程組

a2+b2-ab=4 ab=4

，解之得a=2，b=2．    （7分）
（2）∵B是鈍角，且cosA=

3

5

＞0，sinB=

12

13

∴sinA=

1-cos2A

=

1-( 3 5 )2

=

4

5

（8分）
cosB=-

1-sin2B

=-

1-( 12 13 )2

=-

5

13

（9分）
因此，sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）
=sinAcosB+cosAsinB=

4

5

×(-

5

13

)+

3

5

×

12

13

=

16

65

（12分）

點評：本題給出三角形的一邊和其對角，在已知三角形的面積情況下求其它兩邊的長，著重考查了三角函數的誘導公式、同角三角三角函數的基本關系、正弦定理的面積公式和利用正余弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．