Question

（2013•惠州一模）已知數列{a_n}的相鄰兩項a_n，a_n+1是關于x的方程x2-2nx+bn=0(n∈N*)的兩實根，且a₁=1．
（Ⅰ）求證：數列{an-

1

3

×2n}是等比數列；
（Ⅱ）S_n是數列{a_n}的前n項的和．問是否存在常數λ，使得b_n＞λS_n對?n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用韋達定理，結合等比數列的定義，即可證明數列{an-

1

3

×2n}是等比數列；
（Ⅱ）分別求出b_n、S_n，從而可得不等式，分類討論，即可求出λ的取值范圍．

解答：（Ⅰ）證明：∵a_n，a_n+1是關于x的方程x2-2n•x+bn=0(n∈N*)的兩實根，
∴

an+an+1=2n bn=an•an+1

…（2分）
∵

an+1- 1 3 ×2n+1

an- 1 3 ×2n

=

2n-an- 1 3 ×2n+1

an- 1 3 ×2n

=

-(an- 1 3 ×2n)

an- 1 3 ×2n

=-1．
故數列{an-

1

3

×2n}是首項為a1-

2

3

=

1

3

，公比為-1的等比數列．…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得an-

1

3

×2n=

1

3

×(-1)n-1，即an=

1

3

[2n-(-1)n]
∴Sn=a1+a2+…+an=

1

3

(2+22+23+…+2n)-

1

3

[(-1)+(-1)2+…+(-1)n]
=

1

3

[2n+1-2-

(-1)n-1

2

]．…（8分）
因此，bn=an•an+1=

1

9

[2n-(-1)n]×[2n+1-(-1)n+1]=

1

9

[22n+1-(-2

)

n

-1]
要使b_n＞λS_n，對?n∈N^*都成立，
即

1

9

[22n+1-(-2)n-1]-

λ

3

[2n+1-2-

(-1)n-1

2

]＞0，(n∈N*)（*） …（10分）
①當n為正奇數時，由（*）式得：

1

9

[22n+1+2n-1]-

λ

3

(2n+1-1)＞0
即

1

9

(2n+1-1)(2n+1)-

λ

3

(2n+1-1)＞0，
∵2ⁿ⁺¹-1＞0，∴λ＜

1

3

(2n+1)對任意正奇數n都成立，
因為

1

3

(2n+1)(n為奇數）的最小值為1．所以λ＜1．…（12分）
②當n為正偶數時，由（*）式得：

1

9

(22n+1-2n-1)-

λ

3

(2n+1-2)＞0，即

1

9

(2n+1+1)(2n-1)-

2λ

3

(2n-1)＞0
∵2ⁿ-1＞0，∴λ＜

1

6

(2n+1+1)對任意正偶數n都成立，
∵

1

6

(2n+1+1)(n為偶數）的最小值為

3

2

，∴λ＜

3

2

．
∴存在常數λ，使得b_n＞λS_n對?n∈N^*都成立時λ的取值范圍為（-∞，1）．…（14分）

點評：本題考查等比數列的證明，考查恒成立問題，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．