Question

（2012•臺州模擬）已知函數f（x）=log₂（ax²+2x-3a）．
（Ⅰ）當a=-1時，求該函數的定義域和值域；
（Ⅱ）如果f（x）≥1在區間[2，3]上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=-1時，f（x）=log₂（ax²+2x-3a），令-x²+2x+3＞0，解得-1＜＜x＜3，可得函數f（x）的定義域，確定真數的范圍，可得函數f（x）的值域；
（2）f（x）≥1在區間[2，3]上恒成立等價于ax²+2x-3a-2≥0在區間[2，3]上恒成立，分離參數，構造函數，確定函數的最值，即可得到a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=-1時，f（x）=log₂（ax²+2x-3a）．
令-x²+2x+3＞0，解得-1＜x＜3
所以函數f（x）的定義域為（-1，3）．
令t=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，則0＜t≤4
所以f（x）=log₂t≤log₂4=2
因此函數f（x）的值域為（-∞，2]（6分）
（2）f（x）≥1在區間[2，3]上恒成立等價于ax²+2x-3a-2≥0在區間[2，3]上恒成立
由ax²+2x-3a-2≥0且x∈[2，3]時，x²-3＞0，得a≥

2-2x

x2-3

令h(x)=

2-2x

x2-3

，則h′（x）=

2x2-4x+6

(x2-3)2

＞0
所以h（x）在區間[2，3]上是增函數，所以h（x）_max=h（3）=-

2

3

因此a的取值范圍是[-

2

3

，+∞）．（12分）

點評：本題考查函數的定義域與值域，考查恒成立問題，解題的關鍵是分離參數，確定函數的最值，屬于中檔題．