Question

求下列函數的表達式：
（1）一次函數f（x）使得f{f[f（x）]}=-8x+3，求f（x）的表達式；
（2）已知f（x）滿足，求f（x）的表達式．

Answer 1

解：（1）設f（x）=kx+b，k≠0，
則f[f（x）]=kf（x）+b=k²x+kb+b，
f{f[f（x）]}=k（k²x+kb+b）+b=k³x+k²b+kb+b=-8x+3，
∴，
解得k=-2，b=1，
∴f（x）=-2x+1．
（2）∵，①
∴，②
②×2，得，③
③-①，得3f（x）=，
∴．
分析：（1）設f（x）=kx+b，k≠0，利用函數的對應法則，得到f{f[f（x）]}=k（k²x+kb+b）+b=k³x+k²b+kb+b=-8x+3，再由函數相等的性質，列出方程組，解出k，b的值，即可求出f（x）．
（2）利用函數的性質，把中所有的變量x都換成變量，得到，由此聯立方程組，即可解出f（x）．
點評：本題考查函數的解析式的求法，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．