Question

已知函數f(x)=2sin(

x

2

-

π

3

)+1
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數f（x）的最大值、最小值并求此時x的取值集合；
（Ⅲ）求函數y=f（x）的對稱軸、對稱中心．

Answer 1

分析：（I）根據三角函數的周期公式直接加以計算，即可得到f（x）的最小正周期；
（II）由正弦函數的圖象與性質，令

x

2

-

π

3

=

π

2

+2kπ，得當x=

5π

3

+4kπ（k∈Z）時sin(

x

2

-

π

3

)=1，f（x）取得最大值為3．同理當x=-

π

3

+4kπ（k∈Z）時sin(

x

2

-

π

3

)=-1，f（x）取得最小值-1；
（III）根據正弦函數圖象的對稱軸方程和對稱中心坐標的公式，解關于x的等式，即可得到曲線y=f（x）的對稱軸方程為x=2kπ+

5π

3

（k∈Z），對稱中心為（2kπ+

2π

3

，1）（k∈Z）．

解答：解：（I）∵f(x)=2sin(

x

2

-

π

3

)+1，ω=

1

2

，
∴函數f（x）的最小正周期是T=

2π

1 2

=4π；
（II）當sin(

x

2

-

π

3

)=1時，f（x）取得最大值，最大值為3，
此時

x

2

-

π

3

=

π

2

+2kπ，即x=

5π

3

+4kπ，（k∈Z）；
當sin(

x

2

-

π

3

)=-1時，f（x）取得最小值，最大值為-1，
此時

x

2

-

π

3

=-

π

2

+2kπ，即x=-

π

3

+4kπ，（k∈Z）
綜上所述，f（x）的最大值為3，相應的x的取值集合為{x|x=

5π

3

+4kπ，（k∈Z）}
f（x）的最小大值為-1，相應的x的取值集合為{x|x=-

π

3

+4kπ，（k∈Z）}
（III）令

x

2

-

π

3

=kπ+

π

2

，解得：x=2kπ+

5π

3

，（k∈Z）
∴曲線y=f（x）的對稱軸方程為x=2kπ+

5π

3

，（k∈Z）
令

x

2

-

π

3

=kπ，解得：x=2kπ+

2π

3

，（k∈Z）
∴曲線y=f（x）的對稱中心為（2kπ+

2π

3

，1）（k∈Z）．

點評：本題考查了三角函數的周期性及其求法、正弦函數的對稱性以及正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．抓住正弦函數的圖象與性質是解決本題的關鍵．