Question

已知橢圓過點，且離心率．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）是否存在過點的直線交橢圓于不同的兩點M、N，且滿足（其中點O為坐標原點），若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）存在直線：或滿足題意

【解析】

試題分析：（1）∵橢圓過點，且離心率，

∴ ，                                                                ……2分

解得：,，                                                          ……4分 

∴橢圓的方程為：.                                                     ……5分

（2）假設存在過點的直線交橢圓于不同的兩點M、N，且滿足．   ……6分

若直線的斜率不存在，且直線過點，則直線即為y軸所在直線,

∴直線與橢圓的兩不同交點M、N就是橢圓短軸的端點,

∴,

∴,

∴直線的斜率必存在，不妨設為k ,                                                  ……7分

∴可設直線的方程為：，即,

聯立 ,消y得 ,

∵直線與橢圓相交于不同的兩點M、N,

∴ 得：    ①                    ……8分

設,

∴,

∴,                 ……9分

又,

∴,

化簡得,         

∴或，經檢驗均滿足①式,                                            ……10分

∴直線的方程為：或,                                       ……11分

∴存在直線：或滿足題意．                             ……12分

考點：本小題主要考查橢圓的方程及直線與橢圓的位置關系.

點評：涉及到直線與圓錐曲線的位置關系時，如果需要設出直線方程，不要忘記考慮直線的斜率是否存在，聯立直線與圓錐曲線方程后，不要忘記驗證判別式大于零.