Question

如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=
（I）求證：AO⊥平面BCD；
（II）求異面直線AB與CD所成角的大��；
（III）求點E到平面ACD的距離．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲證AO⊥平面BCD，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證AO與平面BCD內兩相交直線垂直，而CO⊥BD，AO⊥OC，BD∩OC=O，滿足定理；
（II）以O為原點，OB為x軸，OC為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，異面直線AB與CD的向量坐標，求出兩向量的夾角即可；
（III）求出平面ACD的法向量，點E到平面ACD的距離轉化成向量EC在平面ACD法向量上的投影即可．
解答：解：（I）證明：連接OC
∵BO=DO，AB=AD，
∴AO⊥BD．
∵BO=DO，BC=CD，
∴CO⊥BD．
在△AOC中，由已知可得
而AC=2，
∴AO²+CO²=AC²，
∴∠AOC=90^o，即AO⊥OC．
∵BD∩OC=O，
∴AO⊥平面BCD
（II）解：以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，則B（1，0，0），D（-1，0，0），
∴，
∴異面直線AB與CD所成角的大小為
（III）解：設平面ACD的法向量為，
則
∴
令y=1，得是平面ACD的一個法向量．
又，
∴點E到平面ACD的距離
點評：本小題主要考查直線與平面的位置關系、異面直線所成的角以及點到平面的距離基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力．