Question

已知各項均為正數的數列{a_n}，滿足：a₁=3，且

2an+1-an

2an-an+1

=anan+1，n∈N^*．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，Tn=

1

a 2 1

+

1

a 2 2

+…+a

1

a 2 n

，求S_n+T_n，并確定最小正整數n，使S_n+T_n為整數．

Answer 1

分析：（1）由題意知an+1-

1

an+1

=2(an-

1

an

)，所以an-

1

an

=

8

3

×2n-1=

2n+2

3

(n∈N*)，由此可知數列{a_n}的通項公式；
（2）由題設條件知S_n+T_n=(a1-

1

a1

)2+(a2-

1

a2

)2+…+(an-

1

an

)2+2n=

64

27

(4n-1)+2n(n∈N*)，為使S_n+T_n=

64

27

(4n-1)+2n(n∈N*)為整數，當且僅當

4n-1

27

為整數．由此可確定最小正整數n，使S_n+T_n為整數．

解答：解：（1）條件可化為an+1-

1

an+1

=2(an-

1

an

)，
因此{an-

1

an

}為一個等比數列，其公比為2，首項為a1-

1

a1

=

8

3

，
所以an-

1

an

=

8

3

×2n-1=

2n+2

3

(n∈N*)…①
因a_n＞0，由①式解出a_n=

1

3

(2n+1+

22n+2+9

)…②
（2）由①式有S_n+T_n=(a1-

1

a1

)2+(a2-

1

a2

)2+…+(an-

1

an

)2+2n
=(

23

3

)2+(

24

3

)2+(

25

3

)2+…+(

2n+2

3

)2+2n
=

64

27

(4n-1)+2n(n∈N*)
為使S_n+T_n=

64

27

(4n-1)+2n(n∈N*)為整數，
當且僅當

4n-1

27

為整數．
當n=1，2時，顯然S_n+T_n不為整數，
當n³3時，4ⁿ-1=（1+3）ⁿ-1=C_n¹×3+C_n²×3²+3³（C_n³+…+3^n-3C_nⁿ）
∴只需

3 C 1 n +32 C 2 n

27

=

n

9

•

3n-1

2

為整數，
因為3n-1與3互質，
所以為9的整數倍．
當n=9時，

n

9

•

3n-1

2

=13為整數，
故n的最小值為9．

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設條件中的隱含條件，仔細求解．