Question

已知函數f（x）=xlnx．
（I）若函數g（x）=f（x）+ax在區間[e²，+∞]上為增函數，求a的取值范圍；
（II）若對任意x∈(0，+∞)，f(x)≥

-x2+mx-3

2

恒成立，求實數m的最大值．

Answer 1

分析：（I）函數g（x）在區間[e²，+∞）上為增函數，即當x∈[e²，+∞）時，g′（x）≥0，即lnx+a+1≥0在[e²，+∞）上恒成立，分離參數a后轉化為求函數最值；
（II）對任意x∈(0，+∞)，f(x)≥

-x2+mx-3

2

恒成立，即m≤

2x•lnx+x2+3

x

，令h（x）=

2x•lnx+x2+3

x

，轉化為求函數h（x）的最小值即可，利用導數可求得其最小值．

解答：解：（I）由題意得，g′（x）=f′（x）+a=lnx+a+1，
∵函數g（x）在區間[e²，+∞）上為增函數，
∴當x∈[e²，+∞）時，g′（x）≥0，即lnx+a+1≥0在[e²，+∞）上恒成立，
∴a≥-1-lnx，
又當x∈[e²，+∞）時，lnx∈[2，+∞），
∴-1-lnx∈（-∞，-3]，
∴a≥-3．
（II）因為2f（x）≥-x²+mx-3，即mx≤2x•lnx+3+x²，
又x＞0，所以m≤

2x•lnx+x2+3

x

，令h（x）=

2x•lnx+x2+3

x

，
h′（x）=

(2xlnx+x2+3)x′-(2xlnx+x2+3)•x′

x2

=

2x+x2-3

x2

，
令h′（x）=0解得：x=1或x=-3（舍），
當x∈（0，1）時，h′（x）＜0，函數h（x）在（0，1）上單調遞減，
當x∈（1，+∞）時，h′（x）＞0，函數h（x）在（1，+∞）上單調遞增，
所以h（x）_min=h（1）=4，
   因為對任意x∈(0，+∞)，f(x)≥

-x2+mx-3

2

恒成立，
所以m≤h（x）_min=4，即m的最大值為4．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性及求函數在閉區間上的最值，考查函數恒成立問題，轉化為函數最值是解決函數恒成立的常用方法．