Question

已知向量

a

=(cosx，sinx)，

b

=(-cosx，cosx)，

c

=(-1，0)．
（1）若x=

π

6

，求向量

a

與

c

的夾角；
（2）若函數f（x）=2

a

•

b

+1，寫出f（x）的單調遞增區間，并求當x∈[

π

2

，π]時函數f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）當x=

π

6

時，可得

a

=(

3

2

，

1

2

)，代入cos＜

.

a

，

c

＞=

a • c

| a |•| c |

，可得向量

a

與

c

夾角的余弦值，進而得到向量

a

與

c

的夾角
（2）根據向量數量積公式，倍角公式，可得f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），結合正弦函數的圖象和性質，可得函數的單調區間，再由x∈[

π

2

，π]，結合函數的單調性，可得函數的最值，進而得到此時函數f（x）的值域．

解答：解：（1）當x=

π

6

時，

a

=(

3

2

，

1

2

)
又∵

c

=(-1，0)
∴cos＜

.

a

，

c

＞=

a • c

| a |•| c |

=-

3

2

又兩向量的夾角范圍為[0，π]，
所以向量

a

與

c

的夾角為

5π

6

．
（2）∵

a

=(cosx，sinx)，

b

=(-cosx，cosx)，
∴f（x）=2

a

•

b

+1=2（-cos²x+sinxcosx）+1=2sinxcosx-（2cos²x-1）=sin2x-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

），
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπ得
kπ-

π

8

≤x≤kπ+

π

8

，
于是f（x）的單調遞增區間為[kπ-

π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z．
因為x∈[

π

2

，π]，
所以2x-

π

4

∈[

3π

4

，

7π

4

]，
sin(2x-

π

4

)∈[-1，

2

2

]，
f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)∈[-

2

，1]

點評：本題考查的知識點是數量積表示兩個向量的夾角，兩角和與差的正弦函數，正弦函數的圖象和性質，熟練掌握正弦函數的圖象和性質，是解答的關鍵．