Question

已知函數f（x）=alnx-ax-3（a∈R）
（1）求f（x）的單調區間；
（2）若函數f（x）的圖象在點（2，f）處切線的傾斜角為45°，且對于任意的t∈[1，2]，函數g(x)=x3+x2(f′(x)+

m

2

)在區間（t，3）上總不為單調函數，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導數fˊ（x）然后在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區間為單調增區間，fˊ（x）＜0的區間為單調減區間．
（2）對函數求導，求出函數的單調區間，根據函數的單調區間得到若f（x）在[1，2]上不單調，只要極值點出現在這個區間就可以，得到對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，從而求m的取值范圍．

解答：解：（1）f/(x)=

a(1-x)

x

(x＞0)，
a＞0時，f（x）在（0，1]上單調遞增，在[1，+∞）單調遞減；
a＜0時，f（x）在（0，1]上單調遞減，在[1，+∞）單調遞增；
a=0時，f（x）不是單調函數．
（2）由f′（2）=1得a=-2，所以f（x）=-2lnx+2x-3，則g(x)=x3+(

m

2

+2)x2-2x，
故g′（x）=3x²+（m+4）x-2
因為g（x）在（t，3）上總不是單調函數，且g′（0）=-2，
∴

g′(t)＜0 g′(3)＞0

．
由題意知：對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
綜上，

g′(1)＜0 g′(2)＜0 g′(3)＞0

?-

37

3

＜m＜-9．
m的取值范圍為：-

37

3

＜m＜-9．

點評：本題考查了函數的單調性，利用導數判斷函數的單調性的步驟是：（1）確定函數的定義域；（2）求導數fˊ（x）；（3）在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定函數的單調區間．若在函數式中含字母系數，往往要分類討論．