Question

已知函數f（x）=ae^x和g（x）=lnx-lna的圖象與坐標軸的交點分別是點A，B，且以點A，B為切點的切線互相平行．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）若函數，求函數F（x）的極值；
（Ⅲ）若存在x使不等式成立，求實m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用導數的運算法則得出f′（x），g′（x），再利用導數的幾何意義，得到f′（0）=g′（a），解出即可；
（II）解出F′（x）=0，再判定是否符合極值的定義即可；
（III）存在x使不等式成立?故在x∈[0，+∞）上有解?令，m＜h（x）_max，利用導數求出即可．
解答：解：（Ⅰ），（x＞0）．
函數y=f（x）的圖象與坐標軸的交點為（0，a），
函數y=g（x）的圖象與坐標軸的交點為（a，0），
由題意得，又∵a＞0，∴a=1；
（Ⅱ）∵，（x＞0），
∴，

解F′（x）＞0得x＞1；解F′（x）＜0，得0＜x＜1．
∴函數F（x）的遞減區間是（0，1），遞增區間是（1，+∞），
所以函數F（x）極小值是F（1）=1，函數F（x）無極大值；
（Ⅲ）由得，
故在x∈[0，+∞）上有解，
令，m＜h（x）_max
當x=0時，m＜0
當x＞0時，，
∵x＞0，∴，
∴
故，
即在區間[0，+∞）上單調遞減，故m＜h（x）_max，∴m＜0，
即實數m的取值范圍（-∞，0）．
點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值與最值、等價轉化方法等是解題的關鍵．