Question

定義在[1，+∞）上的函數f（x）滿足：①f（2x）=2f（x）；②當x∈[2，4]時，f（x）=1-|x-3|，則集合{x|f（x）=f（36）}中的最小元素是

12

．

Answer 1

分析：由已知可得分段函數f（x）的解析式，進而求出極值點坐標，所以f（x）在[2，4]，[4，8]，[8，16]…上的最大值依次為1，2，4…，即最大值構成一個以2為公比的等比數列，由此可得結論．

解答：解：當2^n-1≤x≤2ⁿ（n∈N^*）時，

x

2n-2

∈[2，4]
∵函數f（x）滿足：①f（2x）=2f（x）；②當x∈[2，4]時，f（x）=1-|x-3|，
∴n≥2時，f（x）=2^n-1×f（

x

2n-2

）=2^n-1×[1-|

x

2n-2

-3|]
由函數解析式知，當

x

2n-2

-3=0時，函數取得極大值2^n-1，
∴極大值點坐標為（3×2^n-2，2^n-1）
∴f（x）在[2，4]，[4，8]，[8，16]…上的最大值依次為1，2，4…，即最大值構成一個以2為公比的等比數列，
∵f(36)=2f(18)=4f(9)=8f(

9

2

)=16f(

9

4

)=16×

1

4

=4，
∴f（x）=4時x的最小值是12；
故答案為：12

點評：本題考查的知識點是函數的極值，其中根據已知分析出分段函數f（x）的解析式，進而求出函數的極值點坐標，是解答本題的關鍵．