Question

已知長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=4，AA₁=8，E、F分別為AD和CC₁的中點，O₁為下底面正方形的中心。

    （Ⅰ）證明：AF⊥平面FD₁B₁；

（Ⅱ）求異面直線EB與O₁F所成角的余弦值；               

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）

解析:

本題考查空間的線面關系，向量法及其運算。

（Ⅰ）證法一：如圖建立空間直角坐標系。則D₁（0，0，0）、O₁（2，2，0）

B₁（4，4，0）、E（2，0，8）、A（4，0，8）、B（4，4，8）、

F（0，4，4）。            

=（-4，4，-4），=（0，4，4），

=（-4，0，4）          

=0+16-16=0，=16+0-16=0

∴AF⊥平面FD₁B₁.            

證法二：連結BF、DF，則BF是AF在面BC₁上的射影，易證得BF⊥B₁F，

DF是AF在面DC₁上的射影，也易證得DF⊥D₁F，所

以AF⊥平面FD₁B₁.

（Ⅱ）解法一：=（2，4，0），=（-2，2，4）  

設與的夾角為，則

=……

解法二：在B₁C₁上取點H，使B₁H=1，連O₁H和FH。

易證明O₁H∥EB，則∠FO₁H為異面直線EB與F所成角。

又O₁H=BE=，HF==5，

O₁F==2，

∴在△O₁HF中，由余弦定理，得

cos∠FO₁H==