Question

如圖，四棱錐的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍，為側(cè)棱上的點(diǎn)。

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若平面，求二面角的大小；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)， 使得平面。若存在，求的值；若不存在，試說(shuō)明理由。

 

 

 

Answer 1

【答案】

解法一：

（Ⅰ）；連,設(shè)交于于，由題意知.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸、軸、軸正方向，建立坐標(biāo)系如圖。

設(shè)底面邊長(zhǎng)為，則高。   于是    

           

      故           從而  

(Ⅱ)由題設(shè)知，平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，設(shè)所求二面角為，則,所求二面角的大小為

（Ⅲ）在棱上存在一點(diǎn)使.由（Ⅱ）知是平面的一個(gè)法向量，

且  

設(shè)        則     

而           即當(dāng)時(shí)，       

而不在平面內(nèi)，故

解法二：（Ⅰ）連BD，設(shè)AC交BD于O，由題意。在正方形ABCD中，，所以,得.

(Ⅱ)設(shè)正方形邊長(zhǎng)，則。

又，所以,

連，由（Ⅰ）知,所以,     

且,所以是二面角的平面角。

由,知,所以,

即二面角的大小為。

Ⅲ）在棱SC上存在一點(diǎn)E，使

由（Ⅱ）可得，故可在上取一點(diǎn),使,過(guò)作的平行線(xiàn)與的交點(diǎn)即為。連BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.

【解析】略