Question

【題目】設函數f（x）=xln（x﹣1）﹣a（x﹣2）．
（Ⅰ）若a=2017，求曲線f（x）在x=2處的切線方程；
（Ⅱ）若當x≥2時，f（x）≥0，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）a=2017時，f（x）=xln（x﹣1）﹣2017（x﹣2），
則f′（x）=ln（x﹣1）+ ﹣2017，故f′（2）=﹣2015，
又f（2）=0，
故切線方程是：y﹣0=﹣2015（x﹣2），
即2015x+y﹣4030=0；
（Ⅱ）由f（x）≥0得xln（x﹣1）﹣a（x﹣2）≥0，而x≥2，
故ln（x﹣1）﹣ ≥0，
設函數g（x）=ln（x﹣1）﹣ ，（x≥2），
于是問題轉化為g（x）≥0對任意的x≥2恒成立，
注意到g（2）=0，故若g′（x）≥0，則g（x）遞增，
從而g（x）≥g（2）=0，而g′（x）= ，
∴g′（x）≥0等價于x2﹣2a（x﹣1）≥0，
分離參數得a≤ = [（x﹣1）+ +2]，
由均值不等式得 [（x﹣1）+ +2]≥2，
當且僅當x=2時取“=”成立，于是a≤2，
當a＞2時，設h（x）=x2﹣2a（x﹣1），
∵h（2）=4﹣2a=2（2﹣a）＞0，
又拋物線h（x）=x2﹣2a（x﹣1）開口向上，
故h（x）=x2﹣2a（x﹣1）有2個零點，
設兩個零點為x1 ， x2 ， 則x1＜2＜x2 ，
于是x∈（2，x2）時，h（x）＜0，故g′（x）＜0，g（x）遞減，
故g（x）＜g（2）=0，與題設矛盾，不合題意，
綜上，a的范圍是（﹣∞，2]．
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，計算f（2），f′（2），求出切線方程即可；（Ⅱ）設函數g（x）=ln（x﹣1）﹣ ，（x≥2），于是問題轉化為g（x）≥0對任意的x≥2恒成立，根據函數的單調性求出a的范圍即可．