Question

（1）已知f（x-2）=3x-5，求f（x）；
（2）已知f（1-cos x）=sin²x，求f（x）；
（3）若f{f[f（x）]}=27x+26，求一次函數f（x）的解析式．

Answer 1

（1）令t=x-2，則x=t+2，t∈R，
由已知有：f（t）=3（t+2）-5=3t+1，
故f（x）=3x+1．
（2）∵f（1-cosx）=sin²x=1-cos²x，
令1-cosx=t，cosx=1-t，
∵-1≤cosx≤1，
∴0≤1-cosx≤2，∴0≤t≤2，
∴f（t）=1-（1-t）²=-t²+2t（0≤t≤2），
故f（x）=-x²+2x（0≤x≤2）．
（3）設f（x）=ax+b，f[f（x）]=a²x+ab+b，
f{f[f（x）]}=a（a²x+ab+b）+b=a³x+a²b+ab+b，
∴

a3=27 a2b+ab+b=26

解得a=3，b=2．
則f（x）=3x+2，f[f（x）]=3（3x+2）+2=9x+8．
f{f[f（x）]}=3（9x+8）+2=27x+26，
∴a=3，b=2，f（x）=3x+2為所求．