Question

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA=PB=AB=BC=2，∠CBA=∠PBC=60°，Q為線段BC的中點．
（1）求證：PA⊥BC；
（2）求點Q到平面PAC的距離．

Answer 1

【答案】證明：（1）∵在△ABC中，BC=AB，∠CBA=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∵Q為BC的中點，
∴AQ⊥BC，
同理在等邊△BPC中，PQ⊥BC，
∵QA∩QC=Q，
∴BC⊥平面PAQ，
∵AP平面PAQ，
∴BC⊥PA；
（2）設點Q到平面PAC的距離為h，由（1）得QA=QP=，
∵AP=2，
∴S△QPA=×2×=，
∵BC⊥平面PAQ，且CQ=1，
∴VC﹣PAQ=××1=，
∵AC=AP=PC=2，
∴S△PAC=×2×2×sin60°=，
∴VQ﹣PAC=××h，
∵VC﹣PAQ=VQ﹣PAC ，
∴=××h，
解得：h=，
則點Q到平面PAC的距離為．
【解析】（1）由題意得到三角形ABC為等邊三角形，由Q為BC中點，得到AQ垂直于BC，同理得到三角形BPC為等邊三角形，得到PQ垂直于BC，由AQ與QC交于Q，得到BC與平面APQ垂直，而AP屬于平面PAQ，即可得到PA與BC垂直；
（2）設點Q到平面PAC的距離為h，根據VQ﹣ACP=VC﹣APQ ， 利用體積法求出h，即為點Q到平面PAC的距離。