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已知點A、B、C的坐標分別為A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα）．
（1）若|
AC
|=|
BC
|，α∈（
π
2
，
3π
2
）．求角α的值；
（2）若
AC
•
BC
=-1，求
sin2α+sinαcosα
1+tanα
的值．
分析：（1）由題意可得
AC
，
BC
的坐標，進而可得模長，可得sinα=cosα，結合α的范圍可得答案；（2）由
AC
•
BC
=-1可得sinα+cosα=
2
3
．兩邊平方得
2sinαcosα=-
5
9
，而
sin2α+sinαcosα
1+tanα
=
sinα(sinα+cosα)
1+
sinα
cosα
=sinαcosα，代入可得．
解答：解：（1）∵
AC
=（cosα-3，sinα），
BC
=（cosα，sinα-3），
∴|
AC
|=
(cosα-3)2+sin2α
=
10-6cosα
，
|
BC
|=
cos2α+(sinα-3)2
=
10-6sinα
．
由|
AC
|=|
BC
|得sinα=cosα．…（4分）
又∵α∈（
π
2
，
3π
2
），∴α=
5π
4
．…（6分）
（2）由
AC
•
BC
=-1可得（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=-1．
∴sinα+cosα=
2
3
．兩邊平方得
1+2sinαcosα=
4
9
，∴2sinαcosα=-
5
9
．…（8分）
又
sin2α+sinαcosα
1+tanα
=
sinα(sinα+cosα)
1+
sinα
cosα
=sinαcosα．
∴
sin2α+sinαcosα
1+tanα
=-
5
18
…（12分）
點評：本題考查平面向量數量積的坐標表示，涉及三角函數的運算，屬基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：2011-2012學年福建省福州市高三3月質量檢查試題文科數學試卷 題型：解答題

在直角坐標系xOy中，已知橢圓C ：(a >0)與x軸的正半軸交于點P．點Q的坐

標為(3，3)，=6．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)過點Q且斜率為的直線交橢圓C于A、B兩點，求△AOB的面積

 

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科目：高中數學 來源： 題型：單選題

已知不等式組數學公式，恒有（a+b，a-b）在不等式組對應的區域內，則以a，b為坐標的點P （a，b）所形成的平面區域的面積是


  1. A.
    數學公式
  2. B.
    數學公式
  3. C.
    數學公式
  4. D.
    數學公式

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科目：高中數學 來源： 題型：單選題

已知數學公式，下列所給出的不能表示此點的坐標的是


  1. A.
    數學公式
  2. B.
    數學公式
  3. C.
    數學公式
  4. D.
    數學公式

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年福建省龍巖一中高三（上）第三次月考數學試卷（文科）（解析版） 題型：選擇題

已知不等式組，恒有（a+b，a-b）在不等式組對應的區域內，則以a，b為坐標的點P （a，b）所形成的平面區域的面積是（ ）
A．
B．
C．
D．

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科目：高中數學 來源：2013屆山西省晉商四校高二下學期聯考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓的長軸長為，焦點是，點到直線的距離為，過點且傾斜角為銳角的直線與橢圓交于A、B兩點，使得.

(1)求橢圓的標準方程；           (2)求直線l的方程．

【解析】（1）中利用點F1到直線x＝－的距離為可知－＋＝.得到a2＝4而c＝，∴b2＝a2－c2＝1.

得到橢圓的方程。（2）中，利用，設出點A(x1，y1)、B(x2，y2)．，借助于向量公式再利用 A、B在橢圓＋y2＝1上， 得到坐標的值，然后求解得到直線方程。

解:(1)∵F1到直線x＝－的距離為，∴－＋＝.

∴a2＝4而c＝，∴b2＝a2－c2＝1.

∵橢圓的焦點在x軸上，∴所求橢圓的方程為＋y2＝1.……4分

(2)設A(x1，y1)、B(x2，y2)．由第(1)問知

,

∴……6分

∵A、B在橢圓＋y2＝1上，

∴……10分

∴l的斜率為＝.

∴l的方程為y＝(x－)，即x－y－＝0.

 

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