Question

設(shè)△ABC三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若1+

tanB

tanA

=

2c

3 a

．
（1）求角B的大小；
（2）若

m

=(cosA，cosB)，

n

=（1，sinA-cosAtanB），求

m

•

n

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，即可求得角B的大小；
（2）利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合輔助角公式化簡函數(shù)，即可求得

m

•

n

的取值范圍．

解答：解：（1）由1+

tanB

tanA

=

2c

3 a

得1+

sinB

cosB

cosA

sinA

=

2sinC

3 sinA

，即

sinC

cosBsinA

=

2sinC

3 sinA

∵A，C∈（0，π），∴sinC≠0，sinA≠0，∴cosB=

3

2

∵B∈（0，π），∴B=

π

6

．                                  （5分）
（2）由（1）知B=

π

6

，∴

m

=(cosA，

3

2

)，

n

=（1，sinA-

3

3

cosA），（6分）
于是

m

•

n

=cosA+

3

2

（sinA-

3

3

cosA）=sin（A+

π

6

）． （10分）
∵0＜A＜

5π

6

，∴

π

6

＜A+

π

6

＜π
∴

1

2

＜sin(A+

π

6

)≤1，即

1

2

＜

m

•

n

≤1．      （12分）

點評：本題考查正弦定理，考查向量知識的運用，考查三角函數(shù)的化簡，考查學(xué)生計算能力，屬于中檔題．