Question

圓錐底面半徑為1，高為

2

，其中有一個內接正方體，求這個內接正方體的棱長是（　　）

• A．

  2

  4

• B．

  2

  3

• C．

  2

  2

• D．

  2

Answer 1

分析：作出圓錐經過正方體上底面對角線的截面，得圓錐的軸截面SEF和正方體對角面CDD₁C₁，如圖所示．作SO⊥EF于O，可得S0=

2

且OE=1，設正方體棱長為x，利用三角形相似建立關系式解出x的值，即可得到該正方體的棱長．

解答：解：過圓錐的頂點S和正方體底面的一條對角線CD作圓錐的截面，如圖所示
可得圓錐的軸截面SEF和正方體對角面CDD₁C₁，
設正方體棱長為x，則CC₁=x，C₁D₁=

2

x
作SO⊥EF于O，可得S0=

2

且OE=1，
∵△ECC₁∽△EOS，
∴

CC1

SO

=

EC1

EO

，代入數據得

x

2

=

1- 2 2 x

1

解之得x=

2

2

，即內接正方體棱長為

2

2

故選：C

點評：本題給出圓錐的內接正方體，在已知圓錐的底面半徑和高的情況下求內接正方體的棱長，著重考查了圓錐的性質、正方體的性質、組合圖形的結構特征和相似三角形等知識，屬于中檔題．