Question

在四棱錐P-ABCD中，△PBC為正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=

1

2

DC，DC=

3

BC，E為PD中點．
（1）求證：AE∥平面PBC；
（2）求證：AE⊥平面PDC；
（3）求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）欲證AE∥平面PBC，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證AE與平面PBC內一直線平行，取PC的中點為F，連接EF，則AE∥BF，又BF?平面PBC，滿足定理所需條件；
（2）欲證AE⊥平面PDC，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證AE與平面PDC內兩相交直線垂直，根據線面垂直的性質可知AE⊥PC，而AE⊥EF，EF∩PC=F，滿足定理所需條件；
（3）延長CB交DA于B^/，連接PB^/，取B^/P的中點為H，連接AH，BH，則BH⊥B^/P，由三垂線定理知，AH⊥B^/P，則∠AHB為平面PAD與平面PBC所成銳二面角的平面角，在Rt△AHB中，求出此角即可．

解答：解：（1）證明：取PC的中點為F，連接EF，則EF為△PDC的中位線，即EF平行且等于

1

2

DC．
又∵AB∥CD，
∴AB平行且等于EF，
∴AE∥BF，
又∵BF?平面PBC，
∴四邊形AEFB為矩形，
∴AE∥平面PBC．（3分）
（2）證明：∵△PBC為正三角形，F為PC的中點，
∴BF⊥PC
又EF⊥PC，EF∩BF=F，
∴PC⊥平面AEFB，AE⊥PC；
由（1）知AE⊥EF，EF∩PC=F，
∴AE⊥平面PDC．（7分）
（3）延長CB交DA于B^/，連接PB^/，設BC=a，
∵AB=

1

2

DC，
∴BB^/=BP=a，取B^/P的中點為H，連接AH，BH，則BH⊥B^/P，由三垂線定理知，AH⊥B^/P，
∴∠AHB為平面PAD與平面PBC所成銳二面角的平面角．（9分）
在Rt△AHB中，AB=

3

2

a，AH=a，∴sin∠AHB=

3

2

，∠AHB=

π

3

∴平面PAD與平面PBC所成銳二面角為

π

3

．（12分）

點評：本題主要考查了線面平行的判定，以及線面垂直的判定和二面角的度量，同時考查了推理論證與計算的能力，屬于中檔題．