Question

（2013•虹口區(qū)二模）已知拋物線(xiàn)C：y²=2px（p＞0），直線(xiàn)l交此拋物線(xiàn)于不同的兩個(gè)點(diǎn)A

x1，y1

、B

x2，y2

．
（1）當(dāng)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)M

p，0

時(shí)，證明y₁•y₂為定值；
（2）當(dāng)y₁y₂=-p時(shí)，直線(xiàn)l是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如果直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)M

p，0

，過(guò)點(diǎn)M再作一條與直線(xiàn)l垂直的直線(xiàn)l'交拋物線(xiàn)C于兩個(gè)不同點(diǎn)D、E．設(shè)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為P，線(xiàn)段DE的中點(diǎn)為Q，記線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)為N．問(wèn)是否存在一條直線(xiàn)和一個(gè)定點(diǎn)，使得點(diǎn)N到它們的距離相等？若存在，求出這條直線(xiàn)和這個(gè)定點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出；
（2）分直線(xiàn)l的斜率存在與不存在兩種情況討論：把直線(xiàn)的斜截式方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出；
（3）利用（1）的結(jié)論和中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，代入直線(xiàn)l的方程得到點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，同理得到線(xiàn)段DE的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，若在一個(gè)拋物線(xiàn)上即滿(mǎn)足題意．

解答：解：（1）l過(guò)點(diǎn)M

p，0

與拋物線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，
設(shè)l：x=my+p，由

x=my+p y2=2px

得y²-2pmy-2p²=0，
∴y1•y2=-2p2．
（2）當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=kx+b，其中k≠0（若k=0時(shí)不合題意）．
由

y=kx+b y2=2px

得ky²-2py+2pb=0．
∴y1y2=

2pb

k

=-p，從而b=-

k

2

．
從而y=kx-

k

2

，得(x-

1

2

)k-y=0，即

x= 1 2 y=0

，即過(guò)定點(diǎn)

1 2 ，0

．
當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在，設(shè)l：x=x₀，代入y²=2px得y²=2px₀，y=±

2px0

，
∴y1y2=

2px0

•(-

2px0

)=-2px0=-p，從而x0=

1

2

，即l：x=

1

2

，也過(guò)

1 2 ，0

．
綜上所述，當(dāng)y₁y₂=-p時(shí)，直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)

1 2 ，0

．
（3）依題意直線(xiàn)l的斜率存在且不為零，
由（1）得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為yP=

1

2

(y1+y2)=pm，
代入l：x=my+p得xP=pm2+p，即P

pm2+p，pm

．
由于l'與l互相垂直，將點(diǎn)P中的m用-

1

m

代，得Q

p m2 +p，- p m

．
設(shè)N

x，y

，則

x= 1 2 ( p m2 +p+pm2+p) y= 1 2 (pm- p m )

消m得y2=

p

2

(x-2p)．
由拋物線(xiàn)的定義知存在直線(xiàn)x=

15p

8

，點(diǎn)

17p 8 ，0

，點(diǎn)N到它們的距離相等．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交問(wèn)題通過(guò)聯(lián)立方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．另外熟練寫(xiě)出直線(xiàn)的方程、應(yīng)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、熟悉分類(lèi)討論方法也是必備的能力．