Question

【題目】已知q和n均為給定的大于1的自然數，設集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn﹣1 ， xi∈M，i=1，2，…n}．
（1）當q=2，n=3時，用列舉法表示集合A；
（2）設s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn﹣1 ， t=b1+b2q+…+bnqn﹣1 ， 其中ai ， bi∈M，i=1，2，…，n．證明：若an＜bn ， 則s＜t．

Answer 1

【答案】
（1）解：當q=2，n=3時，

M={0，1}，A={x| ，xi∈M，i=1，2，3}．

可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．

（2）證明：由設s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn﹣1，t=b1+b2q+…+bnqn﹣1，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，n．an＜bn，∴an﹣bn≤﹣1．

可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…+ +

≤﹣[1+q+…+qn﹣2+qn﹣1]

= ＜0．

∴s＜t．

【解析】（1）當q=2，n=3時，M={0，1}，A={x| ，xi∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A．（2）由于ai ， bi∈M，i=1，2，…，n．an＜bn ， 可得an﹣bn≤﹣1．由題意可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣b2）q+…+ + ≤﹣[1+q+…+qn﹣2+qn﹣1]，再利用等比數列的前n項和公式即可得出．
【考點精析】關于本題考查的數列的前n項和，需要了解數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能得出正確答案．