Question

（本題滿分14分）已知四棱錐中，，底面是邊長為的菱形，，．

（I）求證：；

（II）設與交于點，為中點，若二面角的正切值為，求的值．

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（I）因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD

又ABCD為菱形，所以AC⊥BD,所以BD⊥平面PAC

從而平面PBD⊥平面PAC．    ……………6分

（II）過O作OH⊥PM交PM于H，連HD

因為DO⊥平面PAC，可以推出DH⊥PM,所以∠OHD為A-PM-D的平面角

又，且

從而

所以，即．       ………………………14分

 

 

 

法二：如圖,以為原點,所在直線為軸,軸建立空間直角坐標系，則,, …………8分

從而

因為BD⊥平面PAC,所以平面PMO的一個法向量為．  

設平面PMD的法向量為,由得

取，即 ……………11分

設與的夾角為，則二面角大小與相等

從而，得

從而，即．                 ……………14分

 

【解析】略