Question

已知數列的前n項和為S_n，數列是首項為0，公差為的等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設，對任意的正整數k，將集合{b_2k-1，b_2k，b_2k+1}中的三個元素排成一個遞增的等差數列，其公差為d_k，求證：數列{d_k}為等比數列；
（3）對（2）題中的d_k，求集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素個數．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等差數列的通項公式即可得出；
（2）利用（1）得出b_n，從而得出b_2k，b_2k-1，b_2k+1依次成遞增的等差數列，求出d_k=b_2k+1-b_2k-1，利用等比數列的定義即可判斷出結論；
（3）對k分奇數、偶數討論，利用二項式定理展開，即可得出集合元素的個數．
解答：解：（1）由條件得，即，
∴．
（2）由（1）可知
∴，，，
由2b_2k-1=b_2k+b_2k+1及b_2k＜b_2k-1＜b_2k+1得b_2k，b_2k-1，b_2k+1依次成遞增的等差數列，
所以，
滿足為常數，所以數列{d_k}為等比數列．
（3）①當k為奇數時，
同樣，可得，
所以，集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素個數為=；
②當k為偶數時，同理可得集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素個數為
點評：熟練掌握等差數列的通項公式、等比數列的定義、二項式定理、分類討論的思想方法是解題的關鍵．