Question

如圖，某小區準備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC外的地方種草，△ABC的內接正方形PQRS為一水池，其余地方種花．若BC=a，∠ABC=θ，設△ABC的面積為S₁，正方形PQRS的面積為S₂，將比值稱為“規劃合理度”．
（1）試用a，θ表示S₁和S₂．
（2）（理）當a為定值，θ變化時，求“規劃合理度”取得最小值時的角θ的大�。�
（3）（文）當a為定值，θ=15⁰時，求“規劃合理度”的值．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，AB=acosθ，AC=asinθ，
設正方形的邊長為x則 ，
由BP+AP=AB，得 ，故
所以
（2），
令t=sin2θ，因為 ，
所以0＜2θ＜π，則t=sin2θ∈（0，1]
所以 ，，
所以函數g（t）在（0，1]上遞減，
因此當t=1時g（t）有最小值 ，
此時
所以當 時，“規劃合理度”最小，最小值為 ．
（3）θ=15⁰時，，，
所以，
分析：（1）據題知三角形ABC為直角三角形，根據三角函數分別求出AC和AB，求出三角形ABC的面積S₁；設正方形PQRS的邊長為x，利用三角函數分別表示出BQ和RC，利用BQ+QR+RC=a列出方程求出x，算出S₂；
（2）由比值 稱為“規劃合理度”，可設t=sin2θ來化簡求出S₁與S₂的比值，利用三角函數的增減性求出比值的最小值即可求出此時的θ．
（3）將θ=15°代入兩面積的函數解析式，然后求出兩面積的比值即可得到“規劃合理度”的值．
點評：考查學生會根據實際問題選擇合適的函數關系的能力，以及在實際問題中建立三角函數模型的能力，屬于中檔題．