Question

已知函數f（x）=sin（x-

π

3

）sin（x+

π

3

），g（x）=

3

2

sin2x+

1

4

．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）求函數h（x）=f（x）+g（x）的最小值，并求使h（x）取得最小值時x的取值集合．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）利用兩角和與差的三角函數公式以及倍角公式化簡，然后求周期；
（2）求出h（x）的解析式，然后運用公式化簡．

解答： 解：（1）∵（x）=sin（x-

π

3

）sin（x+

π

3

）=（

1

2

sinx-

3

2

cosx）（

1

2

sinx+

3

2

cosx）=

1

4

sin2x-

3

4

cos2x=-

1

4

-

1

2

cos2x，
∴函數f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；  …（6分）
（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=

3

2

sin2x+

1

4

-

1

4

-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），
∴h（x）的最小值為-1，此時2x-

π

6

=2kπ-

π

2

（k∈Z），
所以x=kπ-

π

6

，使h（x）取得最小值時的x取值集合{x|x=kπ-

π

6

，k∈Z}．…（12分）

點評：本題考查了三角函數解析式的化簡以及性質的運用，關鍵是熟練三角函數公式，正確將解析式化為一個角的一個三角函數名稱的形式．