Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析

【解析】

（1）討論a的范圍，得出f′（x）＞0和f′（x）＜0的解集，得出f（x）的單調(diào)性；（2）求出f（x）的極大值，判斷極大值小于0，根據(jù)f（x）的單調(diào)性得出f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

（1），

令，其對(duì)稱(chēng)軸為，令，則.

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為，

若，即，恒成立，所以，所以在上單調(diào)遞增；

若時(shí)，設(shè)的兩根，，

當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增，

綜上所述：當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增；

若時(shí)， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，下面研究的極大值，

又，所以，

令，則（），可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且的極大值，所以，所以，

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增，所以

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減，所以

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增，

且，

，所以存在，使得，

又當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增，所以只有一個(gè)零點(diǎn)，

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上只有一個(gè)零點(diǎn).