Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，數(shù)列{b_n}滿足bn=(

1

2

)an，且b1b2b3=

1

64

（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n＜2．

Answer 1

分析：（1）設(shè){a_n}的公差為d，表示出b1，b2，b3，然后根據(jù)b1b2b3=

1

64

建立關(guān)于d的方程，解之即可求出所求；
（2）根據(jù){a_nb_n}的通項(xiàng)公式可知利用錯(cuò)位相消的方法進(jìn)行求和，從而證得a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n＜2．

解答：解：（1）設(shè){a_n}的公差為d，a1=1，b1=

1

2

，b2=(

1

2

)1+d，b3=(

1

2

)1+2d
又b1b2b3=

1

64

，解得：d=1
∴a_n=1+（n-1）•1=n
（2）由（1）得bn=(

1

2

)n
設(shè)T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=1•

1

2

+2•(

1

2

)2+3•(

1

2

)3+…+n•(

1

2

)n

1

2

Tn=1•(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+…+(n-1)•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1
作差整理得：Tn=2-

1

2n-1

-

n

2n

=2-

n+2

2n

∴T_n＜2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，以及利用錯(cuò)位相消法求數(shù)列的和，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．