Question

已知函數f（x）=kx²+（3+k）x+3，其中k為常數，且k≠0．
（1）若f（2）=3，求函數f（x）的表達式；
（2）在（1）的條件下，設函數g（x）=f（x）-mx，若g（x）在區間[-2，2]上是單調函數，求實數m的取值范圍；
（3）是否存在k使得函數f（x）在[-1，4]上的最大值是4？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（2）=3，可得k的值，從而可得函數f（x）的表達式；
（2）g（x）=f（x）-mx=-x²+（2-m）x+3，函數的對稱軸為x=

2-m

2

，根據g（x）在區間[-2，2]上是單調函數，可得

2-m

2

≤-2或

2-m

2

≥2，從而可求實數m的取值范圍；
（3）f（x）=kx²+（3+k）x+3的對稱軸為x=-

3+k

2k

，分類討論，確定函數圖象開口向上，函數f（x）在[-1，4]上的單調性，利用最大值是4，建立方程，即可求得結論．

解答：解：（1）由f（2）=3，可得4k+2（3+k）+3=3，∴k=-1
∴f（x）=-x²+2x+3；
（2）由（1）得g（x）=f（x）-mx=-x²+（2-m）x+3，函數的對稱軸為x=

2-m

2

∵g（x）在區間[-2，2]上是單調函數，
∴

2-m

2

≤-2或

2-m

2

≥2
∴m≤-2或m≥6；
（3）f（x）=kx²+（3+k）x+3的對稱軸為x=-

3+k

2k

①k＞0時，函數圖象開口向上，x=-

3+k

2k

＜0，此時函數f（x）在[-1，4]上的最大值是f（4）=16k+（3+k）×4+3=20k+15=4，∴k=-

11

20

＜0，不合題意，舍去；
②k＜0時，函數圖象開口向下，x=-

3+k

2k

=-

1

2

-

3

2k

＞-

1

2

，
1°若-

1

2

＜-

3+k

2k

≤4，即k≤-

1

3

時，函數f（x）在[-1，4]上的最大值是f（-

3+k

2k

）=

12k-(k+3)2

4k

=4
∴k²+10k+9=0，∴k=-1或k=-9，符合題意；
2°若-

3+k

2k

＞4，即-

1

3

＜k＜0時，函數f（x）在[-1，4]上遞增，最大值為f（4）=16k+（3+k）×4+3=20k+15=4，
∴k=-

11

20

＜-

1

3

，不合題意，舍去；
綜上，存在k使得函數f（x）在[-1，4]上的最大值是4，且k=-1或k=-9．

點評：本題考查函數解析式的確定，考查二次函數的單調性與最值，考查分類討論的數學思想，正確分類是關鍵．