Question

已知函數f(x)=2cos2

x

2

+sinx-1
（1）求函數f（x）的最小正周期和值域；
（2）若 x∈(

π

2

，

3π

4

)，且f(x)=

1

5

，求sinx的值．

Answer 1

分析：（1）函數解析式第一、三項結合，利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后再利用兩角和與差的余弦函數公式化為一個角的余弦函數，找出ω的值，代入周期公式求出f（x）的最小正周期；由余弦函數的值域即可求出函數的值域；
（2）由x的范圍求出這個角的范圍，由f（x）=

1

5

，求出cos（x-

π

4

）的值，利用同角三角函數間的基本關系求出sin（x-

π

4

）的值，將sinx中的x變形為（x-

π

4

）+

π

4

，利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡后，將各自的值代入即可求出值．

解答：解：（1）∵f（x）=cosx+sinx=

2

cos（x-

π

4

），
∴函數f（x）的周期為2π，
又∵-1≤cos（x-

π

4

）≤1，
則函數f（x）的值域為[-

2

，

2

]；
（2）∵f（x）=

2

cos（x-

π

4

）=

1

5

，
∴cos（x-

π

4

）=

2

10

，
∵x∈（

π

2

，

3π

4

），∴x-

π

4

∈（

π

4

，

π

2

），
∴sin（x-

π

4

）=

1-cos2(x- π 4 )

=

7 2

10

，
則sinx=sin[（x-

π

4

）+

π

4

]=sin（x-

π

4

）cos+cos（x-

π

4

）sin

π

4

=

7 2

10

×

2

2

+

2

10

×

2

2

=

4

5

．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，同角三角函數間的基本關系，余弦函數的定義域與值域，以及三角函數的周期性及其求法，熟練掌握公式是解本題的關鍵．