Question

已知數{a_n}的前n項和為S_n，且滿S_n=2a_n-n（n=1，2，3_）
（1）a₁，a₂，a₃的值；
（2）求證：數列{a_n+1}是等比數列；
（3）b_n=na_n，求數{b_n}的前n項T_n．

Answer 1

分析：（1）分別令n=1，2，3代入，計算可得數列的值；
（2）由S_n=2a_n-n，可得S_n-1=2a_n-1-（n-1），兩式相減易得；
（3）由（2）可得b_n=n•2ⁿ-n，分別由錯位相減法和等差數列的求和公式可得答案．

解答：解：（1）因為S_n=2a_n-n，令n=1，解得a₁=1，
分別再令n=2，n=3，可解得a₂=3，a₃=7；
（2）因為n＞1，n∈N），
兩式相減可得a_n=2a_n-1+1，即a_n+1=2（a_n-1+1），
又a₁+1=2，所以{a_n+1}構成首項為2，公比為2的等比數列；
（3）因為{a_n+1}構成首項為2，公比為2的等比數列，
所以an+1=2n，所以a_n=2ⁿ-1，
因為b_n=na_n，所以b_n=n•2ⁿ-n，
所以T_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ-（1+2+3+…+n），
令H_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ     （1）
則2H_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹     （2）
（1）-（2）得：-H_n=2¹+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，故H_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹，
所以T_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹-

n(n+1)

2

點評：本題考查數列的求和，涉及等比關系的確定和錯位相減法求和，屬中檔題．