Question

在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA=2AB=2．
（Ⅰ）求四棱錐P-ABCD的體積V；
（Ⅱ）若F為PC的中點，求證PC⊥平面AEF；
（Ⅲ）求證CE∥平面PAB．

Answer 1

分析：對（I）利用椎體的體積公式V=

1

3

Sh計算求解；
對（II）通過線線垂直?線面垂直?面面垂直，在平面AEF中證明兩條相交直線（AF、EF）與PC垂直；
對（III）可以有兩種思路，一是構造平行平面，通過證明面面平行⇒線面平行；二是作平行線，通過證明線線平行⇒線面平行．

解答：解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB=1，
∠BAC=60°，∴BC=

3

，AC=2．
在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，
∴CD=2

3

，AD=4．
∴S_ABCD=

1

2

AB•BC+

1

2

AC•CD=

1

2

×1×

3

+

1

2

×2×2

3

=

5

2

3

．則V=

1

3

×

5

2

3

×2=

5

3

3

．
（Ⅱ）∵PA=CA，F為PC的中點，
∴AF⊥PC．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．
∵E為PD中點，F為PC中點，
∴EF∥CD．則EF⊥PC．
∵AF∩EF=F，∴PC⊥平面AEF．
（Ⅲ）證法一：
取AD中點M，連EM，CM．則EM∥PA．
∵EM?平面PAB，PA?平面PAB，
∴EM∥平面PAB．   …12分
在Rt△ACD中，∠CAD=60°，AC=AM=2，
∴∠ACM=60°．而∠BAC=60°，∴MC∥AB．
∵MC?平面PAB，AB?平面PAB，
∴MC∥平面PAB．
∵EM∩MC=M，
∴平面EMC∥平面PAB．
∵EC?平面EMC，
∴EC∥平面PAB．
證法二：
延長DC、AB，設它們交于點N，連PN．
∵∠NAC=∠DAC=60°，AC⊥CD，
∴C為ND的中點．         …12分
∵E為PD中點，∴EC∥PN．…14分
∵EC?平面PAB，PN?平面PAB，
∴EC∥平面PAB．

點評：本題考查椎體的體積公式；線線垂直，線面垂直的證明方法；線面平行的證明方法．
線面垂直的證明方法：1、線線垂直⇒線面垂直；2、面面垂直⇒線面垂直；3、線線平行⇒線面垂直等
線面平行的證明方法：1、線線平行⇒線面平行；2、面面平行⇒線面平行．
要特別注意定理的條件．