Question

（2013•崇明縣二模）如圖：已知四棱錐P-ABCD，底面是邊長為3的正方形ABCD，PA⊥面ABCD，點M是CD的中點，點N是PB的中點，連接AM、AN、MN．
（1）求證：AB⊥MN；
（2）若MN=5，求二面角N-AM-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）四棱錐P-ABCD的底面是邊長為3的正方形ABCD，且PA⊥面ABCD，由此得到AD，AB，AP兩兩互相垂直，分別以AD、AB、AP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設出AP長度，則可得到圖中各點坐標，求出向量

AB

，

MN

，由它們的數量積等于0證得AB⊥MN；
（2）利用MN=5，求出AP的長度，分別求出平面AMB和平面AMN的一個法向量，利用兩個平面的法向量所成的角求二面角N-AM-B的余弦值．

解答：（1）證明：因為底面是邊長為3的正方形，PA⊥面ABCD，
所以AP⊥AD⊥AB．如圖，
分別以AD、AB、AP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設PA=t
則A(0，0，0)、B(0，3，0)、M(3，

3

2

，0)、N(0，

3

2

，

t

2

)
得

AB

=(0，3，0)，

MN

=(-3，0，

t

2

)．
∴

AB

•

MN

=(0，3，0)•(-3，0，

t

2

)=0，所以AB⊥MN；
（2）解：由

MN

=(-3，0，

t

2

)，得|

MN

|=

9+ t2 4

=5，
解得t=8，即PA=8．
取平面AMB的一個法向量為

n1

=(0，0，1)
設平面AMN的法向量

n2

=(x，y，z)，又

AM

=(3，

3

2

，0)，

AN

=(0，

3

2

，4)
由

n2 • AM =0 n2 • AN =0

得：

3x+ 3 2 y=0 3 2 y+4z=0

，取y=-2，得x=1，z=

3

4

．
所以平面AMN的一個法向量是

n2

=(1，-2，

3

4

)，
設二面角N-AM-B為α，則cosα=

n 1• n 2

| n 1|•| n 2|

=

3 4

1+4+ 9 16

=

3 89

89

．
所以二面角N-AM-B的余弦值為

3 89

89

．

點評：本題考查了直線與平面垂直的性質，考查了利用空間向量求二面角的大小，利用空間向量求二面角的大小時，關鍵是分清兩個平面的法向量所成的角與二面角的關系，此題是中檔題．