Question

判斷下列函數的奇偶性
①y=x3+

1

x

；       
②y=

2x-1

+

1-2x

；
③y=x⁴+x；       
④y=

x2+2(x＞0) 0(x=0) -x2-2(x＜0)

．

Answer 1

分析：①根據分母不為零求出函數的定義域，先判斷是否關于原點對稱，再驗證f（-x）與-f（x）的關系，最后下結論；
②根據偶次被開方數大于等于零求出函數的定義域，判斷出不關于原點對稱，再下結論；
③由解析式不受任何限制求出定義域為R，再驗證f（-x）與-f（x）的關系，最后下結論；
④將解析式中的范圍并在一起求出定義域為R，再分類討論x＞0時和x＜0時f（-x）與-f（x）的關系，注意x的范圍代入對應的關系式，最后下結論．

解答：解：①由x≠0得，即函數的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）關于原點對稱，且f（-x）=-x3-

1

x

=-f（x），故函數是奇函數．
②由

2x-1≥0 1-2x≥0

得，x=

1

2

，則定義域為{

1

2

}不關于原點對稱．該函數不具有奇偶性．
③定義域為R，關于原點對稱，且f（-x）=x⁴-x≠x⁴+x，f（-x）=x⁴-x≠-（x⁴+x），故其不具有奇偶性．
④定義域為R，關于原點對稱，
當x＞0時，f（-x）=-（-x）²-2=-（x²+2）=-f（x）；
當x＜0時，f（-x）=（-x）²+2=-（-x²-2）=-f（x）；
當x=0時，f（0）=0；故該函數為奇函數．

點評：本題考查了函數的奇偶性判斷方法，先由解析式求出求出函數的定義域并判斷是否關于原點對稱，若不對稱再下結論；否則，驗證f（-x）與-f（x）的關系，最后下結論．