Question

如圖所示，已知直線的斜率為且過點,拋物線, 直線與拋物線有兩個不同的交點， 是拋物線的焦點，點為拋物線內一定點,點為拋物線上一動點.

（1）求的最小值；

 (2)求的取值范圍；

（3）若為坐標原點，問是否存在點，使過點的動直線與拋物線交于兩點，且以為直徑的圓恰過坐標原點, 若存在，求出動點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：如圖，設拋物線的準線為， 過作于，過作于，

（1）由拋物線定義知

(折線段大于垂線段)，當且僅當三點共線取等號.由題意知,即

的最小值是8………...4分

(2) ……...5分

（3）假設存在點，設過點的直線方程為，

顯然，，設，，由以為直徑的圓恰過坐標

原點有………… ……………………...①……9分

把代人得由韋達定理　 ………………….………………②

又 　　　….③

②代人③得　　　　　　　　　 　　　 ……… .④

②④代人①得…　　　　　　　　　　 …12分

動直線方程為必過定點

當不存在時，直線交拋物線于,仍然有，　　　　　 綜上：存在點滿足條件……………15分