Question

已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)的最小值為，求的最大值；
(3)若函數(shù)的最小值為，為定義域內(nèi)的任意兩個(gè)值，試比較  與的大小．

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減
（2）的最大值是
（3）

試題分析：解： (1)顯然，且 1分
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，若，，函數(shù)單調(diào)遞減；
若，函數(shù)單調(diào)遞增 4分
(2)由(1)知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以無最小值.
當(dāng)時(shí)，時(shí)，最小，即
所以
因此，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
故的最大值是 8分
(3) 由(1)知,極小值即最小值，
故
對(duì)于任意的且有，
分
不妨設(shè)，則，令則

設(shè)

所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015205104905.png" style="vertical-align:middle;" />
即，所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞增.
從而，但是，所以
即 14分
點(diǎn)評(píng)：主要是利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)極值的運(yùn)用，屬于中檔題。