Question

已知F₁、F₂是橢圓的兩焦點(diǎn)，P是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，且滿足=1，過(guò)點(diǎn)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點(diǎn)，
（1）求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求證直線AB的斜率為定值；
（3）求△PAB面積的最大值。

Answer 1

解：（1）由題可得F₁（0，），F(xiàn)₂（0，），
設(shè)P（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），
則，
∴，
在曲線上，
則，
∴，
得，
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，）。
 （2）由題意知，兩直線PA、PB的斜率必存在，
設(shè)PB的斜率為k（k＞0），
則BP的直線方程為：y-=k（x-1），
由，
設(shè)，
則，
同理可得，
則，
∴AB的斜率為定值。
（3）設(shè)AB的直線方程：，
，
由，
P到AB的距離為，
，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)m=±2∈（-2，2）取等號(hào)。
∴三角形PAB面積的最大值為。